Расчёт плиты перекрытия (СП 63)

Расчёт монолитной плиты перекрытия по СП 63.13330: моменты в пролёте и на опоре, площадь рабочей арматуры, поперечная сила без хомутов, прогиб с учётом трещин.

«Плита перекрытия (СП 63)» — онлайн-калькулятор сервиса ХАБ ПРОЕКТ для проектировщиков и строителей. Раздел проектной документации: Конструктивные решения (КР). Расчёт выполняется по действующим нормам (СП, ГОСТ, ПУЭ, СанПиН); у части расчётов есть режимы «Простой» и «Эксперт», результат с формулами и схемой выгружается в PDF на фирменном бланке. Бесплатно. Расчёт ориентировочный — для предварительной оценки и проверки; окончательные значения принимаются в составе проектной документации ответственным исполнителем.

Нормативная база

СП 63.13330 (изгиб, поперечная сила п.8.1.33, деформации — 2-я группа предельных состояний разд. 8.2)

Как считается

Метод и нормативная база

Расчёт полосы монолитной плиты шириной 1 м, работающей в одном направлении, по СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения» с Изменениями № 1 и № 2: прочность нормального сечения (пп. 8.1.8, 8.1.9, 8.1.12), поперечная сила без поперечной арматуры (п. 8.1.33), образование трещин (пп. 8.2.11, 8.2.23) и прогиб (пп. 8.2.19-8.2.31), шаг стержней по пп. 10.3.5 и 10.3.8. Предельный прогиб берётся по СП 20.13330.2016, табл. Д.1, поз. 2а.

Усилия определяются упругим расчётом однопролётной полосы под равномерной нагрузкой по выбранной схеме опирания: шарнир — шарнир (M = qL²/8, Q = qL/2), защемление — шарнир (M = 9qL²/128 в пролёте, qL²/8 на опоре, Q = 5qL/8; та же схема описывает пролёт двухпролётной неразрезной плиты с равными пролётами при сплошной нагрузке), защемление — защемление (qL²/24 и qL²/12, Q = qL/2). Rb и Rbt по табл. 6.8 умножаются на γb1 = 0,9 при действии только постоянных и длительных нагрузок или 1,0 с учётом кратковременных (п. 6.1.12, перечисление а). Площадь растянутой арматуры определяется через αm и ξ из условий (8.4), (8.5) при As' = 0, с проверкой ξ ≤ ξR (форм. (8.1)) и не меньше 0,1 % от b·h0 (п. 10.3.6).

Шаг стержней выбранного диаметра подбирается по требуемой площади с округлением вниз до 10 мм. Наибольший шаг — 200 мм при h ≤ 150 мм, 1,5h и не более 400 мм при h > 150 мм (п. 10.3.8). Наименьший шаг по осям — диаметр плюс расстояние в свету не менее диаметра и не менее 25 мм для нижней и 30 мм для верхней арматуры (п. 10.3.5); если расчётный шаг меньше, армирование этим диаметром помечается как не подобранное.

Вторая группа считается по двум нормативным нагрузкам, которые вводит инженер. Трещины определяются полной нормативной нагрузкой (п. 8.2.23): Mcrc = Rbt,ser·Wpl, Wpl = 1,3·W (форм. (8.121), (8.122)). Прогиб для предела табл. Д.1 поз. 2а считается от продолжительного действия постоянной и длительной нагрузки (п. 8.2.19). На участке без трещин жёсткость D = Eb1·I, Eb1 = Eb/(1 + φb,cr) (форм. (8.143), (8.147), табл. 6.12). На участке с трещинами — по п. 8.2.27: приведённый модуль Eb,red = Rb,ser/εb1,red (форм. (6.9), εb1,red по табл. 6.10), коэффициент ψs = 1 − 0,8·Mcrc/M (форм. (8.138)), αs2 = Es/(ψs·Eb,red) (форм. (8.158), (8.159)), средняя высота сжатой зоны xm по форм. (8.150), момент инерции Ired = b·xm³/3 + αs2·As·(h0 − xm)² по форм. (8.148), D = Eb,red·Ired и не более жёсткости без трещин. В расчёт берётся фактически принятая площадь арматуры.

Жёсткость каждого участка одного знака момента (пролётного и опорного) определяется по его наиболее напряжённому сечению, кривизна 1/r = M/D (форм. (8.142)) меняется по длине пропорционально моменту, прогиб находится интегралом Мора по пролёту (пп. 8.2.21, 8.2.31). Для шарнирного опирания это даёт f = 5/48·(M/D)·L².

Формулы

M = q · L²/8; 9q · L²/128 и q · L²/8; q · L²/24 и q · L²/12: упругий расчёт однопролётной полосы: шарнир — шарнир; защемление — шарнир (пролёт и опора); защемление — защемление
Rb = γb1 · Rb,табл, Rbt = γb1 · Rbt,табл, γb1 = 0,9 или 1,0: табл. 6.8, п. 6.1.12, перечисление а
αm = M/(Rb · b · h0²), ξ = 1 − √(1 − 2αm), As = ξ · Rb · b · h0/Rs ≥ 0,001 · b · h0: условия (8.4) и (8.5) при As' = 0; ξR по форм. (8.1); минимум — п. 10.3.6
ds + max(ds; 25 мм) ≤ s ≤ 200 мм (h ≤ 150) или min(1,5h; 400 мм): пп. 10.3.5 и 10.3.8; для верхней арматуры в свету не менее 30 мм
Q ≤ Qb,min = 0,5 · Rbt · b · h0: п. 8.1.33, нижняя граница Qb в ограничениях к форм. (8.57) при Qsw = 0
Mcrc = Rbt,ser · 1,3 · b · h²/6: форм. (8.121), (8.122); Rbt,ser по табл. 6.7; трещины — от полной нормативной нагрузки, п. 8.2.23
ψs = 1 − 0,8 · Mcrc/M, Eb,red = Rb,ser/εb1,red, αs2 = Es/(ψs · Eb,red): форм. (8.138), (6.9), (8.158), (8.159); εb1,red = 0,0024; 0,0028; 0,0034 при влажности выше 75 %, 40-75 %, ниже 40 % (табл. 6.10)
xm = h0 · (√((μs · αs2)² + 2μs · αs2) − μs · αs2), μs = As/(b · h0): форм. (8.150)
Ired = b · xm³/3 + αs2 · As · (h0 − xm)², D = Eb,red · Ired ≤ Eb/(1 + φb,cr) · I: форм. (8.148), (8.143), (8.147), п. 8.2.27
f = ∫ M(x)/D · m̄(x) dx ≤ fu; при шарнирном опирании f = 5/48 · (M/D) · L²: пп. 8.2.21, 8.2.31; fu по СП 20.13330.2016, табл. Д.1, поз. 2а, с интерполяцией по пролёту

Что вводится

Пролёт L, м; схема опирания: шарнир — шарнир, защемление — шарнир, защемление — защемление.
Расчётная полная нагрузка q, кН/м², для прочности; нормативная полная нагрузка qn и её постоянная и длительная часть qn,l, кН/м², для второй группы. Без нормативных нагрузок трещины и прогиб не считаются.
Толщина плиты h и расстояние a до центра тяжести арматуры, мм (по умолчанию 25 мм).
Класс бетона В15-В30, арматура А400 (Rs = 340 МПа) или А500 (Rs = 435 МПа), диаметр рабочих стержней 8-16 мм.
Длительность нагрузки для γb1, относительная влажность воздуха для φb,cr и εb1,red (выше 75 %, 40-75 %, ниже 40 %), высота помещения до 6 м или более для предела прогиба.

Что получается

Пролётный и опорный моменты, кН·м/м; αm; требуемая площадь арматуры, мм²/м; шаг и принятая площадь стержней, наибольший шаг по п. 10.3.8.
Предупреждение о переармировании (αm ≥ αmR) и о неподобранном армировании.
Проверка поперечной силы Q ≤ Qb,min, кН/м.
Момент образования трещин и момент от полной нормативной нагрузки; ψs, xm, Ired и жёсткость D участков; прогиб f и предел fu, мм, процент использования.
Ход расчёта в PDF.

Пример расчёта

Плита пролётом L = 4 м с шарнирным опиранием, толщина h = 160 мм, a = 25 мм, бетон В25, арматура А500 ⌀10. Расчётная нагрузка q = 8 кН/м², нормативная полная qn = 6,5 кН/м², из неё постоянная и длительная qn,l = 5,0 кН/м². Только постоянные и длительные нагрузки для прочности (γb1 = 0,9), влажность 40-75 %, высота помещения до 6 м.

h0 = 160 − 25 = 135 мм; Rb = 14,5 · 0,9 = 13,05 МПа; Rbt = 1,05 · 0,9 = 0,945 МПа; Rs = 435 МПа.
M = 8 · 4²/8 = 16,0 кН·м/м.
αm = 16 · 10⁶/(13,05 · 1000 · 135²) = 0,0673; ξR = 0,4934, αmR = 0,3717 — переармирования нет.
ξ = 1 − √(1 − 2 · 0,0673) = 0,0697; As = 0,0697 · 13,05 · 1000 · 135/435 = 282,29 мм²/м (не менее 0,001 · 1000 · 135 = 135 мм²/м).
Шаг ⌀10: 78,5 · 1000/282,29 = 278 мм, округлено вниз до 270 мм. При h = 160 мм > 150 мм наибольший шаг min(1,5 · 160; 400) = 240 мм (п. 10.3.8), наименьший 10 + 25 = 35 мм (п. 10.3.5). Принято 240 мм: 78,5 · 1000/240 = 327,08 мм²/м.
Q = 8 · 4/2 = 16,0 кН/м; Qb,min = 0,5 · 0,945 · 1000 · 135/1000 = 63,79 кН/м.
Wpl = 1,3 · 1000 · 160²/6 = 5 546 667 мм³; Mcrc = 1,55 · 5 546 667/10⁶ = 8,597 кН·м/м; от полной нормативной нагрузки M = 6,5 · 4²/8 = 13,0 кН·м/м > Mcrc — трещины есть (п. 8.2.23).
От постоянной и длительной нагрузки M = 5,0 · 4²/8 = 10,0 кН·м/м; ψs = 1 − 0,8 · 8,597/10,0 = 0,3122 (форм. (8.138)).
Eb,red = 18,5/0,0028 = 6607 МПа (форм. (6.9), табл. 6.10); αs2 = 200 000/(0,3122 · 6607) = 96,95 (форм. (8.158), (8.159)).
μs = 327,08/(1000 · 135) = 0,002423; xm = 135 · (√((0,002423 · 96,95)² + 2 · 0,002423 · 96,95) − 0,002423 · 96,95) = 66,10 мм (форм. (8.150)).
Ired = 1000 · 66,10³/3 + 96,95 · 327,08 · (135 − 66,10)² = 2,4681·10⁸ мм⁴ (форм. (8.148)); D = 6607 · 2,4681·10⁸ = 1,6307·10¹² Н·мм².
Без трещин: Eb1 = 30 000/(1 + 2,5) = 8571 МПа, I = 1000 · 160³/12 = 3,4133·10⁸ мм⁴, Eb1 · I = 2,9257·10¹² Н·мм² — больше, принимается жёсткость с трещинами (п. 8.2.27).
f = 5/48 · 10,0 · 10⁶ · 4000²/1,6307·10¹² = 10,22 мм; fu = 20 + (30 − 20) · (4 − 3)/(6 − 3) = 23,33 мм (L/150 при 3 м и L/200 при 6 м).

Пролётный момент 16,0 кН·м/м, требуемая арматура 282 мм²/м, принято ⌀10 с шагом 240 мм (327 мм²/м). Поперечная сила 16,0 ≤ 63,8 кН/м, хомуты по расчёту не нужны. От полной нормативной нагрузки сечение с трещинами (13,0 > 8,6 кН·м/м); прогиб от постоянной и длительной нагрузки 10,2 мм ≤ 23,3 мм, 44 % предела.

Окончательные значения принимаются в составе проектной документации — с учётом задания, местных условий и решений смежных разделов.

Границы применимости

Нормативные нагрузки не вычисляются из расчётной: их собирают по СП 20.13330 и вводят. Для предела табл. Д.1 поз. 2а в длительную часть входят постоянные и длительные нагрузки, кратковременные по табл. 8.3 СП 20 с коэффициентом 0,35 и снеговые с коэффициентом 0,5.
Усилия — упругий расчёт одного пролёта постоянной жёсткости при нагрузке по всему пролёту. Перераспределение моментов, невыгодное расположение временной нагрузки по пролётам и неразрезные плиты с тремя и более пролётами не рассчитываются: в крайнем пролёте многопролётной плиты упругий пролётный момент больше 9qL²/128, а опорный меньше qL²/8.
Прогиб считается от продолжительного действия постоянной и длительной нагрузки для эстетико-психологических требований. Полный прогиб от всей нагрузки по форм. (8.141) для технологических и конструктивных пределов не выводится. Кривизна участка берётся по наиболее напряжённому сечению, момент инерции — без сжатой арматуры и, на участке без трещин, без арматуры (допущения пп. 8.2.26, 8.2.28).
Ширина раскрытия трещин (пп. 8.2.15-8.2.17) не считается. Плита рассчитывается как балочная полоса: опирание по контуру, продавливание и сосредоточенные нагрузки не учитываются.
Поперечная сила проверяется только по нижней границе Qb = 0,5·Rbt·b·h0; при её превышении нужен полный расчёт по наклонным сечениям (пп. 8.1.33, 8.1.34) с поперечной арматурой.
Наименьший шаг по п. 10.3.5 считается по номинальному диаметру; фактический наружный диаметр стержня периодического профиля больше, и возможность укладки и уплотнения бетона проверяет инженер.

Смежные расчёты: Конструктивные решения (КР)

Все инженерные калькуляторы · Стоимость проектирования по СБЦ · Нормативная база · Блог о проектировании